sábado, 19 de mayo de 2018

Mi colaboración en Placement Prokriya

Hace unos días, Moumita Dey me invitó a colaborar en el blog de Placement Prokriya  (www.placementpro.co.in). Se trataba de un texto en inglés, de un máximo de 400 palabras, y mis datos y foto (por si es de su interés, Moumita busca a otros educadores que quieran contribuir de manera similar).

Hace un momento me etiquetó en una publicación, en Facebook, sobre la imagen de la publicación de mi nota, la cual les comparto:y


El texto completo, en español, se encuentra en Es lo cotidiano, y es de hace tres años.

El texto completo, en (mi) inglés, a continuación:

"We want you to read the concepts in the textbook "

Although the group had demonstrated a tremendous resistance to work as set out in the document given to them on the first day of class, detailing the design of the course, the exigence -because they were not asking for help- was a surprise to me. These were college students in a private institution.
About 43 years ago, while I walked the ranks observing the work of the students, in a math group at its first year at a junior high school in Mexico City, one of the students consulted me on what he was supposed to do. I had written the lesson in which he was working (each one was working at his own pace, consulting the doubts that arose as he advanced, first with someone who was at the same point and then, if needed, with me); it was in the materials on logic and sets for Matemáticas 100 Horas. A couple of years later, Eugenio Filloy published the whole series under his name. 

Part of work that I had to do as a student since I started my master’s degree, was to write lessons and to design activities for students at the same level as this boy, put the materials to the test with my students and to supervise other teachers using the material we made.

When the student asked me for support, he was in the last paragraph on page 202 (in the first image, above). I tried to assure me that he understood the instruction by asking him some questions – that's what I keep doing every time a student is in a similar situation.-. He was able to draw the line requested, on the grid on page 203 (the second image). He called me one more time: "What do I do now?".  I asked him: what does it say you have to do? "Paint in blue the region above the line", he read. Well, you do that, I pointed. "It doesn't say anything about what to do". Read it again, I told him, and he repeated the reading with the same result: "It says nothing." After the third attempt I began to read: Paint in blue... and there he interrupted me: "Ah! I have to paint it in blue! " Then he continued his work to finish the exercise.

The doubt that came to me was whether the wording should be modified or whether there was any other factor that was interfering (I clarified that I did not have training as a teacher before). I did some testing with the whole group: The problem was in reading difficulties, whatever the material was. Then I asked them to write down what they did on a regular day, since they woke up until they went to sleep. Most notable: six hours of daily television, on average.

True, the students who were the children of the engineers at the Petroleum Institute (which was on the other side of the street) and those from upper medium class at the neighborhood, at the time, attended lessons of English, karate, swimming, ballet, etc. by the afternoons, every day. But the boys whose parents worked all day, lower medium class or lesser, woke up with the TV on, and it remains on all the time when they were at home, even when the whole family gathered to eat; they did not have cultural or sporting activities outside their streets and they had to help in domestic chores or working in a family business. The TV always was turned on as background noise. Mostly, they were used to the spoken word, not to writings.

I took the problem to the school’s principal (a technical public junior high School): "Take a week of your course to teach them to read", I was told by the assistant director, an engineer with less knowledge than I had about what reading is and what its processes mean. I tried to; for instance, I asked them to draw something after hearing from a text read in class, selected by themselves. The parents protested: I was demanding that their children read and I was wasting the time with silly things; they “remembered” me that my class was math, so reading and writing was out of consideration.

The good thing about basic school is that the cycle lasts a whole year. The good thing about the kids being freshmen was that they could still be interested (I do not say the 100%) and that they were willing to learn in these dynamics of mine in which the student is the center of the process and have to work to learn since I started 43 years ago. The best reward to this is the boy's gratitude (now a man who must exceed 50 years) who was one of these students, and that gave me some candies and flowers in the parade of the “Day of the Crazies” in San Miguel de Allende, Guanajuato, last June, when he recognized me in the crowd... 43 years later.

And now I go back to the starting point. In the 43 years since I quit working in that school, the problem behind all kinds of misunderstanding in mathematics, physics, statistics or any other subject, at higher education, it's still in reading and all that it entails. From the belief that all truths are in the textbook and that nothing has changed in the last 50 years emerges such a demand for reading the definition in some book, whichever, and to refuse to test what is known and build the concepts from it.
The students are not the only ones responsible, of course. As a society we have abandoned the interest in our young people (children, families, students) learnings, to focus on the grades and medals that mean nothing; because it is well known that the exams are designed so that the student proves that he is able to repeat, even if he only remembers it while passing the exam, which the teacher or the official program says he should be able to repeat. Of course, better grades from our children generate the idea that we are better parents, and better ratings from our students generate the idea that we are very good as teachers, and the administrative authorities even give us recognition.

The Government, for its part, strives to reduce education to boxscores that show what international agencies demand, and to create a false idea of democratic education. The reality can be read in the many publications of the last few days about the quality, coverage, and inequality of education in Mexico.  In Educación Futura, Manuel Gil Anton has been realizing of many of the real situations relating to it. In El Universal we find the actual size of the educational lag. Univision reports on the bleak panorama of our educational system. The newspaper Vanguardia reproduces a note taken from the newspaper El País about the bad education in Mexico. The OECD, to whom government efforts are intended, says that "when Mexican teachers were asked the question ‘In general, am I satisfied with my work? ‘, they responded in a more negative way compared to the teachers in the participating countries ", and one intuits or knows that the teacher's satisfaction with his work is a factor in the pupil's performance, and one cannot infect what one does not have. The same OECD notes that "Mexico ranks among the five nations with the highest percentage of students with low qualification, since 52 percent have failed to complete their upper secondary education", according to reports at La Jornada. And there is much more in other national and international publications, although we try to cover the sun with a finger.

Teachers have contributed to lack of critical thinking among students by not developing or encouraging it, the same goes for creativity (although we adorn ourselves by making congresses to invite the experts), and to let them become actors in their own development. Just the opposite: we encourage their dependence on teachers and authorities of all kind, of course; on the textbook we love most or with which we were instructed; we prohibit the use of technology for fear, among other things, and we keep them, in general, in a state of lethargy that does not allow them to understand how to use the concepts to pose and solve real problems maybe because if they are out of the textbook exercises, we don't know how to do that either.

Howard Eves, in his book Return to Mathematical Circles, presents Some Bits and Tips on Teaching Mathematics. He quotes E. Kim Nebeuts “Teach to the problems, not to the text”, and points “Don’t be a 2 x 4 mathematics teacher, one who always stays between the 2 covers of the textbook and within the 4 walls of the classroom”. These recommendations apply to every subject, of course.
So, at a section of a class, at the university, we find students who demand to:
·         the teacher reads to them the definitions and concepts as they appear in a textbook
·         Do not relate concepts in a class session (and do not ask for conceptual maps)
·         For each concept the teacher must provide only stereotyped exercises, without mixing several concepts
·         be given a sheet whit all the formulae they are supposed to apply
·         the course level must be the same as the high school level because they are accustomed to that

Sadly, for them, "An expert problem solver must be endowed with two incompatible qualities, a restless imagination and a patient pertinacity.”, as the same Eves points out in 
In Mathematical Circles (1969).  In current times – when the approach and resolution of problems require constantly updating the knowledge one has, and the incursion into domains that seemed far away- It is not possible to continue to see education such as Evariste Galois denounced almost 200 years ago.
We all have a part of the problem, and we all must look for a way to solve it.

viernes, 18 de mayo de 2018

La educación matemática hoy en los niveles medio superior y superior

Este texto lo escribí hace tres años, y lo acabo de reencontrar. ¿Qué ha cambiado?

La educación matemática hoy en los niveles medio superior y superior

Durante siglos, el modelo de educación matemática en los bachilleratos y las universidades, ha permanecido sin alteraciones en la mayor parte de los sistemas educativos. Generalmente, las propuestas se han centrado en la transmisión de conceptos, procedimientos y reglas, desarrollándose de manera lineal, conforme  las tablas de contenido de los libros de texto. Este documento cuestiona ese modelo y su pertinencia en los tiempos que corren, apoyándonos en los resultados de la didáctica de las matemáticas que se han venido recopilando y replanteando desde las década de los 70’s y con vistas al desempeño profesional y en la vida de los alumnos que dejan el bachillerato o terminan una licenciatura, con todas las opciones intermedias. ¿Dónde estamos y hacia dónde quisiéramos avanzar?

Este modelo sigue los pasos de la propuesta contenida en los Elementos de Euclides, pensado como libro de texto. Sin embargo hay que recordar que en esos libros se trata de construir lógicamente, de manera deductiva, el conocimiento desarrollado hasta la época de su publicación. La aritmética y la geometría eran dos de los componentes del quadrivium, parte del programa de estudios delineado por Platón en La República. Se trataba de vehicular el pensamiento lógico deductivo a través de esa instrucción. En la época medieval el conocimiento de estos temas permitía acceder al grado de bachiller, prerrequisito para estudiar Medicina, Leyes o Teología.

En tanto los conocimientos requeridos de un alumno no variaran, no aparecieran nuevos tópicos, nuevas metodologías, nuevas herramientas, el modelo seguía siendo válido. Lo que actualmente se denomina “educación clásica” es un esquema que recupera e incluye estos temas pero que incorpora elementos de los siglos XV al XX, como son el álgebra,  la geometría analítica y el cálculo, necesarios para el desarrollo industrial en los siglos XIX y XX, tomando en cuenta que  lo que se denomina la Primera Revolución Industrial se podría situar a finales del siglo XVIII concluyendo hacia mediados del siglo XIX, mientras que lo que se puede llamar Segunda Revolución Industrial partiría desde mediados del siglo XIX hasta principios del siglo XX (hacia 1914). Algunos sistemas educativos, como el nuestro, siguen anclados en ese esquema.

En una entrevista para  ABC[1], en España, Richard Gerver[2], menciona algunas de las características de la educación que deberían de estar presentes en las escuelas modernas. Lo que comenta respecto al sistema educativo español puede aplicarse de manera pertinente a nuestro propio sistema educativo. En particular, señala que el sistema educativo español:

 Está caduco. De hecho, está anclado en la era industrial. No es efectivo para el mundo de hoy, donde se necesitan empleados creativos y capaces de pensar por ellos mismos. El sistema español, donde solo se enseña y se controla, no tiene sentido.

Los cuestionamientos a los sistemas educativos, a los métodos de enseñanza y a los contenidos de los programas no son nuevos. A mediados del siglo pasado, los matemáticos europeos de renombre incursionaron en el análisis y reformulación de los programas de estudio de matemáticas a niveles medio y superior.  Durante el coloquio de Royaumont en 1959, organizado por lo que ahora es la OCDE, Dieudonné lanzó el famoso grito de guerra de: à bas Euclide! (abajo Euclides). Lo que cuestionaba y fustigaba era la enseñanza excesiva de la geometría del triángulo en el bachillerato y en la universidad.  Aducía que no tendría que haber habido lugar para la jerga, el dogmatismo, la introducción temprana de la axiomática:

Solamente se puede desarrollar fructíferamente una teoría matemática bajo la forma axiomática  cuando el estudiante ya está familiarizado con el asunto al que se aplica, trabajando durante un cierto tiempo sobre una base experimental, o semi-experimental, es decir recurriendo constantemente a la intuición.[3]

Se desencadenó una necesidad de reformar la enseñanza de las matemáticas, encabezada por el grupo Bourbaki del que Dieudonné formaba parte. Pero ya en 1974, "siendo uno de los padres de la reforma, Dieudonné tuvo que denunciar públicamente una nueva escolástica, "forma aún más agresiva y estúpida colocada bajo la bandera del 'modernismo'." Así pueden ser las reformas cuando se sacan con fórceps, esencialmente, y sin tiempos de experimentación real en las clases (como ocurrió en la década de 1970)".[4]

Matemáticos como Borel se unieron a los reclamos:

Todos los cambios de los programas deben necesariamente fracasar, o al menos tener apariencias de fallar, por la sencilla razón de que la masa de los maestros no puede obtener de golpe una técnica pedagógica tan buena para los nuevos materiales como la técnica tradicional lo era para los anteriores. Pero la contraparte de esta constatación pesimista no es menos precisa: si bien es cierto que lo esencial en la enseñanza es menos el programa que el método, todo cambio de programas debe, en definitiva, dar buenos resultados después de que hemos sido capaces de crear nuevos métodos adecuados para el nuevo material.[5]

Es en esa época que surge la Didáctica de las matemáticas (y de otras disciplinas) como campo de investigación formal, en la búsqueda de propuestas para acercar a los jóvenes al conocimiento y disfrute de las matemáticas como actividad, no como doctrina. Sin embargo, a pesar de los resultados de investigaciones en ese campo, acumulados en los últimos 45 años, no parece que tengamos avances sustanciales, al menos en este país.

Veamos, por ejemplo,  un Curso de matemáticas fechado, por el alumno que lo utilizó, en 1850. Lamentablemente lo que queda del libro no permite conocer el nombre de autor ni del editor. Tampoco puede verse la tabla de contenidos, pero  ésta puede reconstruirse hojeando el ejemplar:

·         Aritmética
o    Números decimales y fraccionarios, con cuidadosas explicaciones y ejemplos para el desarrollo de cada una de las operaciones.
o    Razones y proporciones
o    Sistemas de medidas
·         Algebra
o    Terminología y el uso de símbolos
o    Operaciones con expresiones algebraicas
o    MCD
o    Ecuaciones
§  Primer grado con una incógnita
§  Primer grado con dos incógnitas (sistemas 2 x 2)
§  Primer grado con más de dos incógnitas (sistemas 3x3)
§  Aplicaciones a la resolución de problemas
§  Análisis de los casos en los que la resolución de un sistema de ecuaciones lineales conduce a fracciones cuyo denominador es cero.
o    Ecuaciones de segundo grado con una incógnita
§  El cálculo de la raíz cuadrada
§  Aplicaciones
o    Potencias fraccionarias de números y términos algebraicos
o    Aplicaciones
o    Proporciones, ahora con términos algebraicos
o    Logaritmos
·         Suplemento a los elementos de algebra.
o    Progresiones 
o    Regla de interés
§  Simple
§  Compuesto
o    Combinaciones y permutaciones
o    Binomio de Newton
·         Geometría euclidiana
o    Geometría plana
§  Definiciones
§  Ángulos
§  Triángulos
·         Congruencia
§  Rectas perpendiculares y paralelas
§  Círculo y rectas en el círculo
§  Polígonos y sus propiedades
§  Proporciones y semejanza
§  Comparación de áreas de figuras semejantes
§  Problemas de aplicación
o    Geometría del espacio
§  Planos y sus intersecciones
§  Ángulos poliedros
§  Poliedros
§  Secciones de poliedros
§  Volúmenes de prismas y pirámides
§  Semejanza de poliedros
§  Cuerpos redondos y sus propiedades
·         Área
·         Volumen
·         Semejanza
§  Aplicaciones
§  Volúmenes de los cuerpos que constituyen las obras de fortificación
o    Nivelación
§  Aplicación de todo lo precedente
o    Trigonometría y levantamiento de planos
o    Teoremas y formulas de la trigonometría
§  Resolución de triángulos
·         Rectángulos
·         Oblicuos
·         Esféricos
§  Instrumentos para medir ángulos y líneas
·         Grafómetro
·         Circulo repetidor
·         Cadena métrica
§  Ejemplos de cálculos trigonométricos
·         Frentes de fortificación
·         Línea de defensa
·         Ángulo flanqueado
o    Levantamiento de planos
§  Determinación de los principales puntos de un país
·         Operación de detal
§  Planos levantados con la plancheta
·         Declinatorio
§  Planos levantados con la brújula
§  Planos levantados con la espada de agrimensor
§  Resumen de estos métodos

El nivel de los desarrollos no es trivial, como puede verse en estas fotos:


La tipografía y la distribución del espacio no respetan ninguna de las características de orden pedagógico que se suelen sugerir (tipo de letra, ilustraciones, aire) esencialmente porque, en la época, no se disponía de las ventajas actuales para la edición. A cambio, quien esto escribió se preocupó por ser muy claro en cada una de las discusiones y cada uno de los ejemplos desarrollados, en aras de lograr de los estudiantes la mayor comprensión y de incrementar las posibilidades de éxito al poner en uso algunos de los conceptos o metodologías.

El asunto es que un curso actual de Precálculo  no es muy diferente de este texto, en cuanto a programa de estudios. Desde el sucinto Precalculus Mathematics in a Nutshell, de Simmons,  hasta el voluminoso Precálculo, de Stewart, los contenidos básicos son los mismos. Lo que nos venden son ediciones mejoradas en cuanto a la presentación y el diseño, y con muchos temas que nunca serán tocados en el curso ni utilizados por la mayor parte de los alumnos, en su vida.

Seguimos insistiendo en que el alumno aprenda cada uno de los métodos que la tradición juzga valiosos, sin importar si eso es pertinente para la mayoría que simplemente utilizará las matemáticas como recurso necesario, pero de lo que prefieren prescindir, y para la minoría formada por los que quisieran ir más allá y se empantanan en un cálculo numérico que, en realidad, no les importa.
¿Cuál es o debiera ser la esencia de la educación matemática? Yo lo pondría en dos niveles:
  •         el de los alumnos que van a utilizar el conocimiento matemático como herramienta y lenguaje en sus tareas profesionales: albañiles y arquitectos, ingenieros de todo tipo, comerciantes y licenciados en comercio, mercadólogos, médicos, etc.
  •          el de los alumnos que irán a una área de ciencias, para desarrollar nuevos conocimientos o nuevas tecnologías, para los que la investigación será un quehacer disfrutable

Sin embargo, hacemos cursos estándares para responder a preguntas estándares que, de ninguna manera, benefician ni a unos ni a otros. Para ambos grupos, el conocimiento y la comprensión profunda de los conceptos serviría para ayudarlos a determinar las variables en un problema y establecer las relaciones entre ellas, dando lugar al planteamiento simbólico. Para los primeros, llegados a este punto, el uso de recursos tecnológicos y aplicaciones debería llevarlos a encontrar una solución para el problema planteado. Para los segundos, el descubrimiento de patrones, de clasificaciones de tipos de problemas, los ayudaría a buscar soluciones generales, creando así nuevo conocimiento.

Desde mi punto de vista lo que hay que construir dentro de un curso de matemáticas es ese conjunto de actitudes, habilidades y conocimientos que definen lo que se llama la competencia matemática  y que deberíamos desarrollar en los alumnos. Apoyarlos para adquirir una disposición hacia las matemáticas, la cual depende de los siguientes componentes:
  •          Conocimiento bien organizado y flexiblemente accesible
  •          Métodos heurísticos,  traducidos en estrategias de búsqueda para analizar problemas
  •          Meta conocimiento, que involucra el conocimiento acerca del propio funcionamiento cognitivo y el conocimiento acerca de las propias motivaciones  y emociones
  •          Convicciones positivas relacionadas con matemáticas
  •          Habilidades de autorregulación de los propios procesos cognitivos y habilidades para regular los procesos y actividades volitivas[6] 

El dominio integrado de las cinco componentes, dice De Corte,  debería resultar en el desarrollo de esta disposición para el aprendizaje y el pensamiento experto, la cual involucra el desarrollo de una sensibilidad para identificar situaciones donde es relevante y apropiado utilizar el conocimiento y las habilidades, y una inclinación para hacerlo. De Corte habla también de una competencia adaptativa que tendrían que adquirir los estudiantes, la cual se traduce en una habilidad para aplicar procedimientos aprendidos significativamente de manera flexible y creativa  y es opuesta a la competencia rutinaria que consiste, principalmente, en la habilidad para resolver ejercicios de clase de manera precisa y rápida sin entender mucho lo que se trata, y que es justamente donde se centran los esfuerzos de muchos de los docentes.

La competencia adaptativa se considera ahora como  el fin último de la educación matemática, precisa De Corte. Es importante, si no necesaria, con vistas a la adquisición de la habilidad para transferir las habilidades y conocimientos propios a nuevas tareas y nuevos contextos de aprendizaje. Y en este momento, esa es una tarea urgente.

A pesar de todo lo anterior, la enseñanza de las matemáticas, en México, sigue respondiendo a ese afán de saturar de hechos, de fórmulas, de procedimientos, de mnemotecnias y de recetas a los alumnos.

Nos sigue pareciendo un objetivo importante que el alumno sea capaz de utilizar series de Riemann para calcular integrales definidas, por ejemplo, en lugar de que sepa cuándo y para qué necesita el concepto de integral, saber plantear una integral cuando se requiera, y ser capaz de resolverla utilizando una aplicación o algún software. Al final no saben ni para qué sirven ni cómo calcularlas. La foto muestra la secuencia de preguntas que fui creando para ayudar a los alumnos de un curso de Física para Ingeniería en nanotecnología y en ingeniería biomédica a establecer los elementos conceptuales y procedimentales para calcular un centroide:

 En la década de los 70, el surgimiento de los CCH hizo suponer que llegarían vientos de cambio a nivel medio superior. En la actualidad, los profesores que participaron en su fundación lamentan que se haya convertido en una prepa más, sin diferencias ni de forma ni de fondo. Las pocas habilidades de lectura y de razonamiento de los egresados de las secundarias producen programas de estudio de nivel remedial en los bachilleratos, un alto índice de deserción y, para los que llegan a las universidades, con honrosas excepciones, limitantes serias para una formación de calidad.

Hace casi 200 años, en 1829, Evaristo Galois había denunciado la pésima calidad de la enseñanza a nivel bachillerato, en su país. Se enseña a los jóvenes a pasar exámenes, dijo, señalando el contubernio entre los profesores y los editores de los libros de texto, en Francia, en su época. Seguimos en eso: ENLACE, PISA, CENEVAL, etc. dictan lo que los alumnos deben aprender con el triste resultado de que al terminar los estudios, particularmente los que abandonan la escuela en algún momento, no pueden ni saben cómo hacer uso de lo que supuestamente aprendieron. El mismo Gerver, al que nos referimos al principio menciona, en la entrevista para ABC que:

Si las escuelas tienen pasión y confianza por lo que hacen, pueden desarrollar el sistema que más se ajuste a sus necesidades. No hay un único método. Aunque compartan algunas características, cada país es único y diferente y debe encontrar lo que funciona para él. Lo que ya no funciona es el sistema educativo que entrena para aprobar exámenes.[7] (El subrayado es mío).

Y añade:
No se trata solo de adquirir conocimientos. Es absolutamente necesario que aprendan a resolver problemas, a pensar por sí mismos, a colaborar, a trabajar en equipo, a saber adaptarse a los cambios de forma permanente. Y, sobre todo, a no sentarse a escuchar, sino a seguir aprendiendo conceptos por su cuenta. Las capacidades más importantes que un joven puede tener son las habilidades personales.[8]

Pero para los alumnos, en general, un curso es bueno si “lo pasa”, de preferencia con altas notas. Los profesores, particularmente en instituciones privadas, se someten a la evaluación que hacen de ellos los alumnos, sacrificando en ocasiones la calidad de los aprendizajes por los puntos de la encuesta de satisfacción, so pena de no ser recontratados. Los padres de familia siguen creyendo que las notas obtenidas hablan de: 1) la calidad de la institución educativa y 2) la inteligencia y buena preparación de sus hijos. Las instituciones utilizan esos puntajes que obtienen los alumnos para 1) conservar la matrícula y 2) generar los indicadores que significan acreditaciones y fondos. En apariencia, todos ganan.

Sin embargo el desarrollo tecnológico ha hecho que ese tipo de conocimiento enciclopédico sea obsoleto y que las altas notas en esos cursos no sean significativas en un mundo laboral que exige muchos know how. Yo dudo de que, profesionalmente, alguien realmente se ponga a imitar a Newton haciendo tablas detalladas para calcular algo que en Excel se hace de manera muy sencilla y rápida. 

De la misma manera, dedicar un curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias  a que un alumno aprenda a calcular a mano menos de lo que el Wolfram Alpha hace en minutos, me parece una pérdida de tiempo que podría emplearse en habilitarlo para utilizar las herramientas en la solución de problemas reales, generando pensamiento crítico y creativo.

Por supuesto, el rol del docente tendría que cambiar. Y terminaría el papel preponderante de los libros de texto en lo que llamamos educación. Nuestras seguridades al dar clase y hacer que los alumnos aprendan a contestar de manera preestablecida tendrían que dar paso a un quehacer de colaboración e investigación activa, lleno tal vez de incertidumbres. La pérdida del control, que a veces no es tan caro, sería una consecuencia. Y tal vez por eso seguimos haciendo lo mismo que aprendimos de nuestros profesores (los míos eran otra cosa, aclaro).

Pero hay otras maneras de hacer las cosas. Perrenoud dice que el uso de la estrategia didáctica del Aprendizaje Basado en Problemas (ABP o PBL), a nivel universitario, ni siquiera debería cuestionarse. El acercamiento a ese tipo de trabajo puede comenzar desde la escuela primaria, por supuesto. Y hay que aclarar que lo que define a un problema depende del grado y el desarrollo de los alumnos.

En ese sentido voy a comentar brevemente acerca del uso de Desmos para generar aprendizajes sobre las cónicas, como lo plantee y desarrollé en  un curso de Geometría Analítica (Matemáticas IV) en el Colegio del Bosque, en León:

Una vez que habíamos construido la ecuación ordinaria de la circunferencia, a partir de un problema propuesto,  se les pidió hacer un dibujo creativo en Desmos utilizando rectas y circunferencias, como tarea. Las preguntas (vía Edmodo) comenzaron a llegar: "¿podemos usar otro tipo de curvas?". No solamente aprendieron a graficar otras curvas y a establecer las ecuaciones ordinarias correspondientes (viendo la galería de dibujos en Desmos o los videos en el canal de Desmos en YouTube) sino que, además, aprendieron a colorear utilizando desigualdades y a limitar dominios y rangos. Al terminar cada etapa de dibujos teníamos una sesión de institucionalización de los aprendizajes generados, muy en el estilo de las dialécticas de Brousseau.

Hablando solamente de cursos de/que requieren de matemáticas, una de las experiencias más ricas la tuve con los alumnos de Análisis Numérico en la Ibero Tijuana, en 2011. Alumnos muy interesados, participativos y colaborativos. El curso tuvo como soporte un grupo cerrado en Facebook. Las discusiones, las aportaciones, los problemas que se les propusieron para generar los aprendizajes requeridos, están en las publicaciones del grupo. Todos los alumnos de ese curso son exitosos ingenieros graduados. El grupo está ahora abierto para que sea visible públicamente y puedan ser reutilizados los materiales.

Tal vez lo que hace falta es integrarnos a grupos de discusión sobre los programas de estudio actuales, en todos los niveles, para colaborar en una investigación seria, no pensada para solamente hacer puntitos para el SNI, acerca de los conocimientos, habilidades y actitudes  que el estudiante mexicano debiera generar y poner a prueba al terminar cada ciclo escolar. A nivel superior, determinar las competencias profesionales que son requeridas del egresado de cada carrera, y replantear los planes de estudio y las metodologías de aprendizaje que ayuden a desarrollar esas características en ellos.
Es una invitación.

[1] Pérez-Barco, C. “El Sistema Educativo Español Está  Anclado En La Era Industrial. ABC.es., 2014. Web. 24 May 2015.
Nota bene: Las traducciones libres son mías, a partir de los textos citados.
[3] Claude Lelièvre. L’Express.fr.""Dieudonné: "A Bas Euclide!"'. 2009. Web. 22 May 2015.
[4] Claude Lelièvre. Op. Cit.
[5] Claude Lelièvre. 'Le Blog De Claude Lelievre . Blog Archive. « A Bas Euclide! ». 2009. Web. 22 May 2015.
[6] Erik De Corte. Learning from instruction: the case of mathematics. Learning Inquiry, (2007) 1:19–30. Springer.

[7] Pérez-Barco, C. Artículo citado.
[8] Pérez-Barco, C. Artículo citado.