lunes, 25 de julio de 2016

Actividad matemática en el CIPEC

La semana pasada compartí un texto sobre lo que es la actividad matemática , tomado del libro La mistyfication mathématique de Alain Bouvier, que incluye una propuesta de 50 problemas entre abiertos y ya resueltos, sin que conozcamos en cuál de estas categorías está cada uno y, evidentemente, sin soluciones (para los ya resueltos) ni hints.

El libro llegó a mis manos en 1985 mientras estaba en el IREM de la Universidad París 7 Diderot, a punto de presentar mi tesis. Desde entonces lo he utilizado en diferentes ocasiones para tratar de despertar el interés por una verdadera actividad matemática con los estudiantes desde muy temprana edad. La resistencia es enorme porque, fundamentalmente, muy pocos docentes han entrado en este terreno y ante la ausencia de guías externos que les permitan saber si “voy bien o me regreso” se sienten desconcertados y desamparados. Traduzcan eso a lo que hacen en sus cursos: puras cosas previsibles, dependiendo del grado o el momento del ciclo escolar. No vamos a encontrar una ecuación lineal con soluciones negativas si no se han introducido los números negativos y las operaciones con ellos, por ejemplo. Y con enteros, por favor. Dado que nunca estuve sujeta a semejantes cosas, decido que siempre es buen momento para comenzar la exploración.

Hacia 1986-1987, mientras desarrollábamos uno de los primeros cursos de la maestría en Educación Matemática, modalidad semiabierta, en la Universidad de Guadalajara, me tocó hacerme cargo de las sesiones de heurística. El grupo estaba integrado por maestros de matemáticas para ingeniería, maestros de matemáticas de bachillerato y estudiantes de la licenciatura en matemáticas en su último semestre. De los 50 problemas propuestos por Bouvier seleccioné un problema diferente para cada subgrupo.

Me ocuparé del problema 36, propuesto a los estudiantes de último semestre de la licenciatura en matemáticas a quienes daba gusto (OK, no) escuchar hablar de los títulos de sus tesis sobre topología algebraica y menjurjes semejantes con aire docto.

El problema 36 pide encontrar los valores que puede tomar un entero positivo n para que 4^n + n^4 sea un número primo.

Para mi sorpresa, los estudiantes comenzaron a ensayar uno a uno los números del 1 al 17 antes de establecer un hecho que a uno puede parecerle obvio. Y es justo en ese punto donde los chicos del CIPEC mostraron que lo que necesitan son oportunidades.

La sesión en el CIPEC comenzó, como de costumbre, conversando con los que llegan temprano acerca de lo que han experimentado/aprendido/disfrutado/odiado en los días previos de esa semana. Hubo homemade brownies para potenciar el arranque, recordando que debíamos de decidir a quién habría que regalarle el libro de Alicia en el país de las maravillas que Célica Cánovas nos había donado. Después de hacer una semblanza de Lewis Carroll y Alicia y una breve introducción al libro, decidí que sería para quien mostrará razonamiento lógico en sus participaciones de la mañana.

Para entrar en calor les propuse un ejercicio que aparece en un problemario de preparación para un concurso de ¡informática!: ¿cuál es el último dígito de 2013^2013 ?

Es evidente que su calculadora no puede ayudarles. ¿Cómo podrían responder?
“Multiplicamos” dijeron algunos. Inténtenlo, respondí. Pero Paola, la más pequeña de las chicas, dijo que no sabía qué significaba la escritura dada. Me fui al origen, con Diofanto y su dedicatoria de sus libros de Aritmética, explicitado lo que significa x^n para valores de n = 1, 2, 3 y 4.

Resultó que ella no era la única con esa laguna cuando al escribir x^2 algunos dijeron que el valor de x se multiplicaba por 2. No avanzamos hasta que para todos quedó claro que la n se refiere al número de veces que se toma x como factor. Unos 10 minutos.

Regresamos al ejercicio: ¿cuál es el último dígito de 2013^2013? Que cambié por ¿en qué dígito termina 2013^2013? Mucho desconcierto, por supuesto. Propuse que uno siempre puede tratar de entender con un problema más sencillo (Polya dixit) y escribí 23^23, que sigue estando fuera del alcance de las calculadoras. Hice hincapié en que no nos interesa el resultado total sino solamente el dígito que representa las unidades. Hicimos un par de ejercicios para explicitar el algoritmo de la multiplicación paso a paso y notar que las unidades del producto provienen solamente del resultado de multiplicar las unidades de los dos factores en cuestión. Por ejemplo, si multiplicamos 27 por 63 sabemos (debiéramos de) que el producto termina en 1.

Entonces propuse esa actividad a la que el niño de seis años, François Le Lionnais, se entrega en una tarde aburrida de un verano caluroso (hacia 1908).  La historia es importante porque toca una de las quejas de la mañana: “me aburro en mi casa y no me gusta estar aquí”.

Le Lionnais cuenta que en ese estado de aburrimiento comenzó escribiendo los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y pensó, por supuesto, que el último dígito de cualquier otro número es, necesariamente, uno de esos dígitos (Le Lionnais no incluyó al cero, de lo cual se dio cuenta unos años después, pero yo lo hice para los chicos).
Determinó que al multiplicar un número por sí mismo (desconocía, dice, que eso se denominaba "cuadrado del número") el resultado solamente pueden terminar en  0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, correspondiendo a cada uno de los dígitos.

En ese momento tenía las dos líneas siguientes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
0, 1, 4, 9, 6, ,5, 6, 9, 4, 1

Se percató, entre otras cosas, de la simetría en torno al 5, lo cual lo incita a continuar con las terminaciones de los cubos:

0, 1, 8, 7, 4, 5, 6, 3, 2, 9.  

Un desorden con algunas propiedades. Intrigado, intenta con la cuarta potencia:

0, 1, 6, 1, 6, 5, 6, 1, 6, 1.  

Que es una sorpresa total por su simetría, para comenzar, y porque no son muchos los sobrevivientes, dice.

¿Qué ocurrirá con la quinta potencia? Obtiene
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

En ese momento Paola, la chiquita que no conocía el significado de la potencia, dijo en voz alta: “¡entonces hay que dividir entre 4.”
  1. Alicia en el país de las maravillas  encontró a su dueña
  2. Le pregunté qué había que dividir entre 4 (en 23^23)

Nos explicó:

23, del exponente, entre 4 da 5 y sobran 3. Así que hay que ir a la tercera fila de las cuatro creadas, y mirar la que corresponde al 3: es 7. 23^23 termina en 7.

No estaba segura de que todos hubieran entendido cabalmente lo que acababa de suceder ni la explicación. Hicimos un par de ejercicios antes de regresar a 2013^2013.

Sí: “hay que dividir entre 4” se entendió dentro del contexto de la sesión, aunque habría que ver más adelante si se produjo conocimiento.

Al dividir 2013 entre 4 tenemos 1 como residuo, lo que significa que nos fijamos en la primera fila, en la columna que corresponde al 3: es 3

Había transcurrido alrededor de una hora desde que iniciamos la sesión, y todavía disponíamos de unos 30 minutos. Propuse el ejercicio 36 de la lista de Bouvier:
encontrar los valores que puede tomar un entero positivo n para que 4^n + n^4 sea un número primo.

“No me acuerdo cuáles son los números primos”, se escuchó. Escribí la definición en una esquina del pizarrón y la lista de los primos menores que 50. Hicimos el cálculo de  4^n + n^4 para n = 0, 1, y 2 y observamos que cuando n=1 obtenemos 5 como resultado, y entonces tenemos un número primo. Replantee el problema: ¿para cuales otros valores de n se obtienen números primos?

Después de un momento se produjo el segundo momento mágico: “No funciona para los números pares” dijo Itzel, una chica que ese día festejaba su cumpleaños 17. Añadió: “siempre daría un número par” (utilizó, por supuesto, los resultados del ejercicio anterior, mostrando que lo había vuelto conocimiento útil).

Excelente, dije. ¿Cuáles nos quedan como candidatos? “Los que terminan en 1, 3, 5, 7 y 9”, dijeron.

Continuar la exploración se quedó como tarea porque se nos acabó el tiempo.

Lo sorprendente es que estos chicos no han tenido otro entrenamiento que lo que han aprendido en la escuela y lo que hacemos en las sesiones sabatinas, las cuales no apuntan a convertirlos en campeones de concursos o semejantes. De hecho, la candidata más fuerte para participar en los concursos estatales, dentro de este grupo (sí, también es niña), no se escuchó durante estos ejercicios.

La otra cosa sorprendente, y que contrasta tremendamente con la petulancia de aquellos estudiantes de matemáticas en cursos de maestría (y no debería sorprenderme) es que aquí no necesitaron probar del 1 al 17 para darse cuenta de lo que Itzel hizo notar.

Si revisamos todo este rollo, quitando el anecdotario y haciendo un ejercicio de taxonomización, nos daremos cuenta de la cantidad de conocimiento generado/recuperado/puesto a prueba en una sesión que puede resumirse en 45 minutos tal vez, pero que sería tremendamente aburrida y desgastante sin esta comunicación/comunión en la que cada uno puede participar y expresar lo que no entiende sin temores, entre iguales.

Yo salí muy satisfecha, preparando lo que será la sesión del próximo sábado la cual iniciará con un breve convivio de festejo de tres cumpleañeros. Esos momentos, para mi gusto, son lo que permiten crear el ambiente de las sesiones de trabajo.

viernes, 22 de julio de 2016

La actividad matemática.

Hace tiempo preparé un material a este respecto, para un "Diplomado en Enseñanza de las matemáticas para profesores de preparatoria y la universidad", que diseñé e impartí mientras estaba a cargo de la Coordinación de Desarrollo Educativo en la Ibero Tijuana.

La presentación que acompañó a la sesión sobre lo que significa "actividad matemática" se titula "La mistificación matemática", tomada del libro de Alain Bouvier que lleva ese nombre.

Sobre la importancia de aprender a plantear y resolver problemas de matemáticas hubo también una presentación, además del documento completo con algunas referencias.

Esta semana, a propósito de las actividades que desarrollamos con los chicos del CIPEC, sumamente desestructuradas pero diseñadas ex profeso, decidí hacer una traducción libre y sintetizada del primer capítulo del citado libro de Alain Bouvier: La mystification mathématique.

Se trata, fundamentalmente, de una propuesta de cincuenta problemas dirigidos a los docentes de matemáticas y es una invitación a participar y comprender lo que es la actividad matemática. Es una invitación también a ir dando cuenta de nuestro propio proceso, el que desarrollamos cuando incursionamos en esta actividad, pero también de observar a otros docentes y hasta a algunos alumnos cuando se involucran en ella.

Los problemas, como se menciona en el documento, pueden ser problemas para los cuales todavía no se tiene una solución o ejercicios que pueden resultar sencillos para algunos. Bouvier no indica cuáles pertenecen a cada categoría. Por supuesto, no hay respuestas o hints para ellos.

Disfruten el viaje que supone La actividad matemática.


jueves, 21 de abril de 2016

Semana de la Ciencia en el Tec de Monterrey Campus León

Les comparto la última entrada en mi blog/diario más personal, en WordPress.

Se refiere a un taller que ofrecí ayer a los alumnos de la Prepa del Tec de Monterrey Campus León.
Ahí mismo se encuentran los enlaces a la presentación y al Popplet insertado en ella (página 6 del documento).

20 de abril: Taller en el Tec

Como siempre, son bienvenidos sus comentarios y aportaciones.

jueves, 31 de marzo de 2016

20 de febrero: proporcionalidad y semejanza

Ante el interés de los chicos por aprender a dibujar en perspectiva, como lo hace Toño, esta sesión la dedicamos a esos temas.

Comenzamos desde el arte, con un material sobre La representación del espacio que hice para el Diplomado en Enseñanza de las Matemáticas que diseñé e impartí en la Ibero Tijuana, en 2009. El texto que acompaña a esa presentación está también disponible.

Enseguida les pedí escuchar y observar el video que ilustra El teorema de Thales, obra de Les Luthiers, y explicar lo que hubieran entendido al respecto.

Por supuesto que hubo que esclarecer los términos al tiempo que introducíamos notaciones necesarias en geometría.





Y proponer un ejercicio sencillo que permitiera saber si habían entendido los conceptos y, al mismo tiempo, pudieran determinar las dimensiones de un corazón a una cierta distancia de uno dado, en pespectiva, para satisfacer la inquitud que dio origen a este tema.



Es importante señalar que estos aprendizajes se trasladan a otras áreas, pues actualmente los chicos trabajan, entre otras cosas, en el diseño de un mural en las paredes del patio del Centro. El diseño se hace en papel y luego se traslada al muro, en una escala adecuada, bajo la supervisión de Toño. Antes prepararon el muro.



Otra de las actividades es la creación de un huerto orgánico:




miércoles, 30 de marzo de 2016

Antes de San Valentín, en el CIPEC

La actividad consistía en crear una tarjeta de San Valentín, que dedicarían a quien ellos quisieran, sin compartirla con el resto (ni en fotos).

Las mismas reticencias que tienen como origen las descalificaciones que han recibido, en este caso porque "no sabes dibujar" desde el punto de vista del maestro. Ignoro cuáles son los estándares del dibujo según los maestros y estoy convencida de que muchos grandes artistas serían descalificados por ellos.

Recuerdo siempre la primera experiencia que tuve con un chiquito de primer año de secundaria, cuando comenzaba mi carrera como maestra. Les pedí que, de manera individual, cada uno retomara una lección del libro "Matemáticas 100 horas", para cuya segunda edición había yo escrito un buen número de lecciones y las ponía a prueba con ellos. Esos materiales se trabajan al ritmo de cada alumno de modo que la condición era que tenía que ser una lección que el alumno ya hubiera cubierto. El formato era a elección de cada alumno y podía ser texto, historieta o mixto. Cada uno seleccionó su tema y comenzó a trabajar mientras yo observaba lo que hacían, fila por fila. Al llegar a la última encontré a uno de los chicos con la página en blanco y le pregunté la razón. "Es que no sé dibujar", dijo; respondí que todos sabemos dibujar y que bastaba que hiciera "monos", que ilustré rápidamente:
                                                 
Insistió en que no sabía hacer eso, de modo que le ofrecí una alternativa "simplificada":
                                               
Terminó por decirme que desde el kinder los maestros le habían dicho que no sabía dibujar. Y se lo había creído. Fue difícil convencerlo de hacer cualquier cosa que implicara trazar algo.

Como madre de familia también me enfrenté a situaciones semejantes: "tu hijo dibuja a lápiz" ("mira qué bonito dibujan las niñas con mucho color"), "tu hijo no sabe decir lo que es el color" (aunque todos los trabajos se quedaban para exposición), etc. La diferencia es que una cosa es lo que opine un maestro o varios y otra es lo que nos creemos en esta casa.

Los chicos del CIPEC, en su mayoría, comenzaron a crear sus dibujos después de algunas sugerencias: dibujar un 2, reflejarlo sobre un eje vertical tangente a la primera figura, o un 3 al que se le alargan los extremos, como se muestra enseguida:
                                        
Algunos querían que su dibujo quedara como el de Toño, quien es arquitecto y había hecho una progresión de corazones en perspectiva. Tomé prestada una actividad de la película La sociedad de los poetas muertos: poner a esos chicos a caminar mientras el resto los observaba. Luego pedí a los observadores que dijeran si todos caminan de la misma manera o no, y comentar al respecto. Funcionó excepto para uno.





 



Otras opciones eran escribir una ecuación de un corazón (buscada en la red por ellos mismos) y/o graficarlo en Desmos. Luis, uno de los chicos más avanzados (tercero de secundaria) eligió construir corazones en la aplicación pero, recién integrado al grupo, requirió del apoyo de Tamara quien le explicó cómo utilizarla.




La insistencia en dibujar en perspectiva dio el tema para la siguiente sesión: proporcionalidad y semejanza.




6 de febrero 2016

La siguiente sesión, el 6 de febrero, continuamos hablando de las máquinas de guerra. Esta vez sí las de Leonardo.
Primeramente revisamos los avances del cómic en cada uno de los equipos, aunque no estuvieron todos los alumnos.

 

Tuvimos una conversación acerca de lo que es trabajo en equipo a partir de algunas de las situaciones presentadas:


  • "Mi cómic..."  para referirse al cómic del equipo y que había sido delegado en el que, a su propio juicio, es el mejor dibujante.
  • "No vino el que se quedó con el cómic"; sin entender todavía que si el trabajo es del equipo cada uno debe poder dar cuenta del avance y del proceso, independientemente de los que falten.


De ahí surgió la necesidad de que aprendan a utiilizar Google Docs, por ejemplo, para compartir y colaborar en línea. Mientras disponíamos de una sesión en la sala de cómputo del Centro, desarrollamos un cadáver exquisito, como ejemplo de una construcción colectiva. Resultó una historia un tanto macabra en la que, por turnos, cada uno aportó una línea. Toño Falcón, el responsable del taller sabatino, proporcionó la línea del cierre. Sorprende la limitación que se auto imponen en este tipo de tareas lo cual, sin duda, es también refllejo de la censura escolar.

Luego, vimos algunas fotos de mi album de la exposición The Da Vinci Experience a la que asistí en el San Diego Air & Space Museum, en febrero de 2009. Disponíamos, además de un par de flip books, uno ilustrando el movimiento de la sierra hidráulica y el otro ilustrando su "tornillo de aire". Los chicos disfrutaron la experiencia y preguntaron, por supuesto, cuándo veríamos esa exposición por estos rumbos. Leonardo los fascinó, sin duda. En la siguiente sesión compartimos otros materiales sobre la obra completa de Leonardo (arte y ciencia) y les regalamos cuadros de un calendario sobre el tema.

Febrero 2016 en el CIPEC

Las actividades de febrero iniciaron, en realidad, el 30 de enero.

En diciembre habíamos conocido las cónicas a través de la pregunta de una de las chicas, como se relata en la entrada sobre la construcción de una caja y, posteriormente, en la sesión donde utilizamos Desmos para graficar algunas cónicas  necesarias para diseñar una tarjeta navideña. Los chicos recordaban bien las experiencias y los ejemplos sobre el uso de la parábola, que era lo que me interesaba de modo particular.

Comenzamos con un librito recién comprado en la Librería Efraín Huerta del Fondo de Cultura Económica: Las máquinas bélicas de Leonardo y otras historias científicas sobre Ciencia y Guerra, de Enrique José Díaz León. La sesión comenzó con la lectura del primer apartado, dedicado a "Arquímedes y la toma de Siracusa".

En el pizarrón se detalla la tarea del día.


Las fotos dan cuenta del trabajo de los chicos, en equipos.



Y los primeros esbozos para elaborar su cómic:







Adicionalmente se compartió con ellos un enlace que conduce diferentes recursos para crear cómics en línea.

En las siguientes sesiones se dio retroalimentación a las propuestas en papel y se ha buscado que compartan los enlaces a los cómics que crearon. La prohibición de compartir información en línea con ellos (políticas de la escuela) ha hecho difícil que lo logremos.