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lunes, 25 de julio de 2016

Actividad matemática en el CIPEC

La semana pasada compartí un texto sobre lo que es la actividad matemática , tomado del libro La mistyfication mathématique de Alain Bouvier, que incluye una propuesta de 50 problemas entre abiertos y ya resueltos, sin que conozcamos en cuál de estas categorías está cada uno y, evidentemente, sin soluciones (para los ya resueltos) ni hints.

El libro llegó a mis manos en 1985 mientras estaba en el IREM de la Universidad París 7 Diderot, a punto de presentar mi tesis. Desde entonces lo he utilizado en diferentes ocasiones para tratar de despertar el interés por una verdadera actividad matemática con los estudiantes desde muy temprana edad. La resistencia es enorme porque, fundamentalmente, muy pocos docentes han entrado en este terreno y ante la ausencia de guías externos que les permitan saber si “voy bien o me regreso” se sienten desconcertados y desamparados. Traduzcan eso a lo que hacen en sus cursos: puras cosas previsibles, dependiendo del grado o el momento del ciclo escolar. No vamos a encontrar una ecuación lineal con soluciones negativas si no se han introducido los números negativos y las operaciones con ellos, por ejemplo. Y con enteros, por favor. Dado que nunca estuve sujeta a semejantes cosas, decido que siempre es buen momento para comenzar la exploración.

Hacia 1986-1987, mientras desarrollábamos uno de los primeros cursos de la maestría en Educación Matemática, modalidad semiabierta, en la Universidad de Guadalajara, me tocó hacerme cargo de las sesiones de heurística. El grupo estaba integrado por maestros de matemáticas para ingeniería, maestros de matemáticas de bachillerato y estudiantes de la licenciatura en matemáticas en su último semestre. De los 50 problemas propuestos por Bouvier seleccioné un problema diferente para cada subgrupo.

Me ocuparé del problema 36, propuesto a los estudiantes de último semestre de la licenciatura en matemáticas a quienes daba gusto (OK, no) escuchar hablar de los títulos de sus tesis sobre topología algebraica y menjurjes semejantes con aire docto.

El problema 36 pide encontrar los valores que puede tomar un entero positivo n para que 4^n + n^4 sea un número primo.

Para mi sorpresa, los estudiantes comenzaron a ensayar uno a uno los números del 1 al 17 antes de establecer un hecho que a uno puede parecerle obvio. Y es justo en ese punto donde los chicos del CIPEC mostraron que lo que necesitan son oportunidades.

La sesión en el CIPEC comenzó, como de costumbre, conversando con los que llegan temprano acerca de lo que han experimentado/aprendido/disfrutado/odiado en los días previos de esa semana. Hubo homemade brownies para potenciar el arranque, recordando que debíamos de decidir a quién habría que regalarle el libro de Alicia en el país de las maravillas que Célica Cánovas nos había donado. Después de hacer una semblanza de Lewis Carroll y Alicia y una breve introducción al libro, decidí que sería para quien mostrará razonamiento lógico en sus participaciones de la mañana.

Para entrar en calor les propuse un ejercicio que aparece en un problemario de preparación para un concurso de ¡informática!: ¿cuál es el último dígito de 2013^2013 ?

Es evidente que su calculadora no puede ayudarles. ¿Cómo podrían responder?
“Multiplicamos” dijeron algunos. Inténtenlo, respondí. Pero Paola, la más pequeña de las chicas, dijo que no sabía qué significaba la escritura dada. Me fui al origen, con Diofanto y su dedicatoria de sus libros de Aritmética, explicitado lo que significa x^n para valores de n = 1, 2, 3 y 4.

Resultó que ella no era la única con esa laguna cuando al escribir x^2 algunos dijeron que el valor de x se multiplicaba por 2. No avanzamos hasta que para todos quedó claro que la n se refiere al número de veces que se toma x como factor. Unos 10 minutos.

Regresamos al ejercicio: ¿cuál es el último dígito de 2013^2013? Que cambié por ¿en qué dígito termina 2013^2013? Mucho desconcierto, por supuesto. Propuse que uno siempre puede tratar de entender con un problema más sencillo (Polya dixit) y escribí 23^23, que sigue estando fuera del alcance de las calculadoras. Hice hincapié en que no nos interesa el resultado total sino solamente el dígito que representa las unidades. Hicimos un par de ejercicios para explicitar el algoritmo de la multiplicación paso a paso y notar que las unidades del producto provienen solamente del resultado de multiplicar las unidades de los dos factores en cuestión. Por ejemplo, si multiplicamos 27 por 63 sabemos (debiéramos de) que el producto termina en 1.

Entonces propuse esa actividad a la que el niño de seis años, François Le Lionnais, se entrega en una tarde aburrida de un verano caluroso (hacia 1908).  La historia es importante porque toca una de las quejas de la mañana: “me aburro en mi casa y no me gusta estar aquí”.

Le Lionnais cuenta que en ese estado de aburrimiento comenzó escribiendo los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y pensó, por supuesto, que el último dígito de cualquier otro número es, necesariamente, uno de esos dígitos (Le Lionnais no incluyó al cero, de lo cual se dio cuenta unos años después, pero yo lo hice para los chicos).
Determinó que al multiplicar un número por sí mismo (desconocía, dice, que eso se denominaba "cuadrado del número") el resultado solamente pueden terminar en  0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, correspondiendo a cada uno de los dígitos.

En ese momento tenía las dos líneas siguientes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
0, 1, 4, 9, 6, ,5, 6, 9, 4, 1

Se percató, entre otras cosas, de la simetría en torno al 5, lo cual lo incita a continuar con las terminaciones de los cubos:

0, 1, 8, 7, 4, 5, 6, 3, 2, 9.  

Un desorden con algunas propiedades. Intrigado, intenta con la cuarta potencia:

0, 1, 6, 1, 6, 5, 6, 1, 6, 1.  

Que es una sorpresa total por su simetría, para comenzar, y porque no son muchos los sobrevivientes, dice.

¿Qué ocurrirá con la quinta potencia? Obtiene
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

En ese momento Paola, la chiquita que no conocía el significado de la potencia, dijo en voz alta: “¡entonces hay que dividir entre 4.”
  1. Alicia en el país de las maravillas  encontró a su dueña
  2. Le pregunté qué había que dividir entre 4 (en 23^23)

Nos explicó:

23, del exponente, entre 4 da 5 y sobran 3. Así que hay que ir a la tercera fila de las cuatro creadas, y mirar la que corresponde al 3: es 7. 23^23 termina en 7.

No estaba segura de que todos hubieran entendido cabalmente lo que acababa de suceder ni la explicación. Hicimos un par de ejercicios antes de regresar a 2013^2013.

Sí: “hay que dividir entre 4” se entendió dentro del contexto de la sesión, aunque habría que ver más adelante si se produjo conocimiento.

Al dividir 2013 entre 4 tenemos 1 como residuo, lo que significa que nos fijamos en la primera fila, en la columna que corresponde al 3: es 3

Había transcurrido alrededor de una hora desde que iniciamos la sesión, y todavía disponíamos de unos 30 minutos. Propuse el ejercicio 36 de la lista de Bouvier:
encontrar los valores que puede tomar un entero positivo n para que 4^n + n^4 sea un número primo.

“No me acuerdo cuáles son los números primos”, se escuchó. Escribí la definición en una esquina del pizarrón y la lista de los primos menores que 50. Hicimos el cálculo de  4^n + n^4 para n = 0, 1, y 2 y observamos que cuando n=1 obtenemos 5 como resultado, y entonces tenemos un número primo. Replantee el problema: ¿para cuales otros valores de n se obtienen números primos?

Después de un momento se produjo el segundo momento mágico: “No funciona para los números pares” dijo Itzel, una chica que ese día festejaba su cumpleaños 17. Añadió: “siempre daría un número par” (utilizó, por supuesto, los resultados del ejercicio anterior, mostrando que lo había vuelto conocimiento útil).

Excelente, dije. ¿Cuáles nos quedan como candidatos? “Los que terminan en 1, 3, 5, 7 y 9”, dijeron.

Continuar la exploración se quedó como tarea porque se nos acabó el tiempo.

Lo sorprendente es que estos chicos no han tenido otro entrenamiento que lo que han aprendido en la escuela y lo que hacemos en las sesiones sabatinas, las cuales no apuntan a convertirlos en campeones de concursos o semejantes. De hecho, la candidata más fuerte para participar en los concursos estatales, dentro de este grupo (sí, también es niña), no se escuchó durante estos ejercicios.

La otra cosa sorprendente, y que contrasta tremendamente con la petulancia de aquellos estudiantes de matemáticas en cursos de maestría (y no debería sorprenderme) es que aquí no necesitaron probar del 1 al 17 para darse cuenta de lo que Itzel hizo notar.

Si revisamos todo este rollo, quitando el anecdotario y haciendo un ejercicio de taxonomización, nos daremos cuenta de la cantidad de conocimiento generado/recuperado/puesto a prueba en una sesión que puede resumirse en 45 minutos tal vez, pero que sería tremendamente aburrida y desgastante sin esta comunicación/comunión en la que cada uno puede participar y expresar lo que no entiende sin temores, entre iguales.

Yo salí muy satisfecha, preparando lo que será la sesión del próximo sábado la cual iniciará con un breve convivio de festejo de tres cumpleañeros. Esos momentos, para mi gusto, son lo que permiten crear el ambiente de las sesiones de trabajo.

domingo, 28 de diciembre de 2014

Retomando las observaciones de hace 37 años

En el verano de 1977 desarrollé la parte experimental de mi trabajo de tesis de maestría; entre septiembre de ese año y junio de 1978 redacté el análisis y reporte de la experiencia. Pero ese mismo año yo viajé a París para iniciar mis estudios de doctorado, y Papini (Dr. Jesús Alarcón Bortolussi) viajó a Estrasburgo, también para su doctorado. El trabajo quedó terminado pero no hubo tiempo para la formalidad de la presentación y validación por parte de un jurado. A principios de 1981 regresé a México y en junio de ese año hice la defensa de la tesis, aun cuando Papini seguía en Francia. Hoy volví a darle una revisada a ese trabajo.

Con la tecnología de los años 70, el trabajo se escribió a mano y luego Margarita Brito, entonces trabajando en Matemática Educativa, lo mecanografío. Se imprimió en el mismo taller de Matemática Educativa, con el apoyo de Carlos y Octavio, que estaban a cargo del área de reproducción e impresión de todos los materiales que producíamos.

El trabajo consiste en el diseño de un curso de formación para profesores de matemáticas de primero de secundaria, con un total de 90 horas, y el análisis y reflexión sobre lo que observamos a lo largo de él. Eran unos 30 profesores y teníamos dos grupos, de 50 niños cada uno, que acababan de terminar la primaria, para observar la manera en que los profesores llevaban al aula lo que aprendían y se les proponía en el curso.

En cuanto a lo que observamos entonces sobre los conocimientos, habilidades y actitudes de los profesores en y hacia los temas de matemáticas y los que tienen que ver con la labor docente, independientemente del curso que imparten, pareciera que el tiempo se ha detenido. No hay mejoría y hasta me atrevería a decir, con las siempre honrosas excepciones, que hay un retroceso. Los programas han cambiado, debilitándose de manera alarmante, y los materiales que se ofrecen a los profesores y a los alumnos, desde la misma SEP, no contribuyen a mejorar la calidad de la educación, especialmente en matemáticas.

La propuesta del curso de 90 horas no sigue el programa que estaba vigente en aquellos tiempos, que incluía Lógica y Conjuntos y Probabilidad y Estadística, desde 1974 o algo así. Las razones que entonces expuse son básicamente las mismas que recurrentemente expreso con respecto a la educación matemática: hay que atender a las características de nuestros alumnos y a proporcionarles herramientas que les permitan hacer frente a situaciones en la vida real, aunque sí incluiría aspectos probabilístico y el manejo de datos. También recomendaba tomar en cuenta que sin la capacitación adecuada, y no a través del teléfono descompuesto que son los multiplicadores, valía más no pedir al maestro trabajar con temas que no comprenden, que parecen haber descendido solamente sobre unos cuanto iluminados, y que limitan el tiempo que se necesita para desarrollar conocimientos mucho más relevantes en todos los sentidos.

De las observaciones y del análisis que hicimos de ellas resultó que los temas que desde todos los tiempos han estado en los programas de ese nivel, tampoco son suficientemente dominados por los profesores, especialmente en lo que se refiere a fracciones y geometría plana. Que los profesores ni siquiera prestan atención cuando se trata de profundizar respecto a esos mismos temas, porque suponen que ya saben de qué se trata, aunque no sea verdadero. Diría yo que reconocen la tonada pero no podrían cantar o tararear la canción.

Lo mismo sucede cuando se trata de temas de pedagogía, didáctica, tecnología educativa, psicología del aprendizaje y los temas relacionados. Los docentes han pasado por todo tipo de talleres o sesiones informativas -generalmente por obligación- en las que pareciera que es más importante utilizar la jerga correspondiente que entender de qué se trata y para qué puede ser utilizado ese conocimiento. Salen indemnes de semejantes experiencias, en el mejor de los casos. Tristemente eso también se observa en directivos de todos los niveles en el área educativa. El triste caso de la terrible confusión y falta de comprensión de lo que significa el desarrollo de competencias (no competencias laborales, no competiciones), en los últimos tiempos, es un excelente ejemplo para ilustrar el desastre que son esos métodos de "capacitación" a los que las autoridades educativas siguen recurriendo.

En cuanto al trabajo con los alumnos, nos sorprendió lo refractario que se mostraron para tomar en cuenta la propuesta de trabajo independiente del alumno y asumir la función de facilitador que incorporamos a nuestro trabajo desde 1975, por lo menos. Los materiales de trabajo para el alumno -contenidos en el libro Matemáticas 100 horas, para primero de secundaria- fueron elaborados, puestos a prueba y re elaborados en función de las observaciones del trabajo con los niños en las escuelas secundarias en las éramos docentes, o en las que auxiliábamos a otros docentes que empleaban los materiales, de manera de asegurar que los alumnos podían aprender por su cuenta y discutiendo entre ellos, con apoyo del docente cuando surgía una duda o era necesario proponer una alternativa.

Después de las sesiones de trabajo con los profesores, en las que se explicitaba todo lo anterior y se modelaba la puesta en operación, ellos debían trabajar con alguno de los dos grupos de niños, en parejas para que pudieran ser más eficientes en la observación del trabajo de los niños y su retroalimentación.

Se les pedía llegar a la sesión con los alumnos habiendo analizado los materiales y resuelto con nosotros cualquier duda o solicitud de apoyo. Lo que ocurrió fue que llegaban sabiendo el nombre de la lección, confiando en que conocían el tema; que dictaban cátedra controlando la lectura de los materiales, pidiendo a los alumnos leer un ejercicio, por ejemplo, y guardar inmediatamente el material; impidieron las interacciones entre los alumnos; se desviaron del tema observando y haciendo observar a los niños cualquier detalle de algún dibujo o característica que encontraran novedoso en el material -"vamos a aprender a dibujar esta florecita", por ejemplo-, sin concluir la lección ni, por supuesto, lograr algún aprendizaje significativo en los niños; privilegiaron el trabajo de los dos o tres niños que terminaban un ejercicio antes que el resto; y no registraron ninguna de las dudas o tropiezos que encontraron los chicos del grupo.

Que las cosas no han mejorado me quedó claro hace casi dos años, cuando me pidieron hacerme cargo de dos grupos de matemáticas en un colegio privado de niñas. De pronto tenía público en la ventana observando mi "peculiar" manera de poner a trabajar a las alumnas mientras circulaba entre las bancas para retroalimentar lo que hacían, en caso necesario; o sentándome en el suelo con ellas, u observando la manera en que trabajaban y se retroalimentaban en parejas o grupos de cuatro o cinco. Aparentemente nunca habían visto o conocido la puesta en acción de todo lo que les piden que aprendan en asuntos de trabajo colaborativo y del aprendizaje centrado en el alumno.

Fue bueno releer el material y encontrarme con documentos que escribimos Papini y yo sobre la resolución de problemas y sobre los inicios de la probabilidad con los chiquitos, a partir del trabajo con niños. Documentos que recordaba pero que no los tenía disponibles, según yo. Papini falleció en 1997, pero antes hicimos realidad dos proyectos importantes de formación de profesores de matemáticas, creando maestrías en educación matemática en las escuelas normales de Saltillo y de Toluca, entre otras cosas.

Encontré también los materiales que, como alumnos, escribimos algunos compañeros y yo, de manera individual o en equipos, y que sirvieron como materiales para el curso de 90 horas. Entre los compañeros que colaboraron con sus materiales y la imparticion del tema, dentro del curso, están algunos de los amigos que permanecen a través de los años que van de 1968 a la fecha: los reconocidísimos educadores Elias Loyola Campos y César Cristóbal Escalante.

Mucha agua ha pasado bajo los puentes y seguimos observando las mismas carencias educativas.