La sesión de cierre con los chicos del CIPEC

Cinco sesiones de hora y media, una cada sábado, que terminaron ayer, 28 de noviembre.

Interesante y gratificante ver a estos niños/adolescentes que comenzaron diciendo que no entendían cómo se construía la recta numérica, qué era un polinomio, cómo se dividían, y para qué servía el álgebra, llegar a este día con lo que se describe en las fotos en puro lenguaje simbólico, graficando en el plano cartesiano de Desmos.

Esta vez, la explicación se encuentra en las fotos que se comparten en el enlace.

Isoperimétricos

La sesión del 21 de noviembre, con los chiquitos del CIPEC, comenzó un poco antes de la hora habitual. A las 8:45 A.M. tres de los pequeños se presentaron conmigo para decirme que ya me estaban esperando. Las puertas las abren a las 9:00 A.M., ¿o no?, comenté. "No. Ya abrieron y ya estamos en el salón", respondieron. Subí con ellos y, aunque no estaban todos, si había un número suficiente como para dar inicio, comentando acerca de lo que es su día regular: la hora en que se levantan o los levantas, lo que hacen para ayudar en las tareas de su casa, la posición que ocupan en su familia, etc. Algunos agregaron datos sobre el empleo de sus padres, o comentarios sobre su rellación con sus hermanos. Conforme iban llegando iban participanto en esta ronde de conocernos unos a los otros. Toño y yo participamos aportando nuestras propias historias.

Hacia las 9:10 A.M. dimos inicio a la sesión de trabajo. A cada uno le entregué un trozo de listón, todos más o menos de la misma longitud. Y sobre una mesa dispuse llos materiales de trabajo que siempre llevo: escuadras, reglas, lápices, papel milimétrico, cinta adhesiva y hasta un par de compases.

Les conté la historia de Dido también llamada Elisa quien, huyendo de la codicia y crímenes de su hermano Pigmalión, llegó a la tierra de los gétulos, en Africa y pidió hospitalidad y un pedazo de tierra para instalarse. Jarbas, el rey de los gétulos le dió una piel de buey y le dijo que le daría tanta tierra como ella pudiera abarcar con esa piel. Con la tierra que pudo encerrar con esa piel, Dido fundó Cártago. Hasta ahí la historia contada a los chicos y chicas (la historia completa se encuentra aquí) .

El problema para los niños era, entonces, encerrar la mayor área posible con su listón, trabajando de manera individual. Toño y yo nos dedicamos a observar. Las fotos muestran algunos de los acercamientos que observamos:

No hay desorden, no compiten entre ellos. Cada uno sigue un pproceso diferente, al inicio, y van progresando hacia una comprensión mejor del problema y de las posibles soluciones. Hay trabajo muy en forma, intentando, midiendo, contando cuadritos, calculando. En algún momento se oyó decir a uno de los chisco "Ya me emocioné", mientras intentaba otra forma geométrica con su cordón.

Y vino luego la recuperación de los resultados del trabajo individual. Como siempre, me encargo de ir recogiendo las aportaciones de los chicos en el pizarrón, para institucionalizar e conocimiento generado. En esta ocasión, adicionalmente, proporcioné la manera de calcular la altura de un triángulo equilatero a partir del lado. El resto es trabajo del grupo. 

Al terminar esta recuperación les conté el final de la historia de Dido: cómo logró encerrar el terreno de mayor área, para la fundación de Cártago, utilizando la piel de buey que le fue entregada por Jarbas. Y la importancia de pensar de manera creativa para resolver un problema. La actividad completa tomó unos 45 minutos.

El tiempo restante lo dedicamos a planear cómo elaborar una tarjeta de Navidad utilizando Desmos. Por ejemplo, un angelito (una circunferencia para la cabeza, una parábola para el cuerpo, rectas para las alas y una elipse para el halo). Por supuesto, se trataba de una muy breve y contextualizada introducción a las cónicas.

Imaginamos (porque no disponíamos de uno) un cono de beber agua, con agua hasta la mitad. Y las superficies formadas dependiendo de la inclinación que le diéramos: circunferencia, elipse, parábola; la hipérbola fue un acto de fe.

La propuesta, entonces, fue comenzar por tratar de dibujar en Desmos una cabeza de Mickey Mouse. Para eso necesitábamos saber cómo decirle al graficador que dibujara una circunferencia. Eso nos llevó a tener que describir qué es una circunferencia: yo actuaba como centro y e largo de mi brazo como radio (sin decirlo). Primero dieron con que era importante la medida del brazo y alguno recordó que eso se llamaba radio. Pregunté qué pasaría si yo quisiera trazar otro círculo, con el mismo radio, pero diferente del primero; batallaron muy poco para concluir que tenía que cambiar mi ubicación en la cuadrícula del piso. La pregunta fue: ¿cómo se llama ese punto del que depende que el círculo sea diferente? Ciertamente no lo recordaban, y hubo que decírcelos: centro.

Con ayuda de Pitágoras (explícito), encontraron la ecuación de una circunferencia centrada en el origen. Y estuvieron muy complacido dibujando muchas concéntricas. El problema que se les quedó de tarea fue buscar la manera de trazar las orejas. La galería de Desmos como apoyo.

La construcción de una caja

Los chicos con los que trabajamos Toño y yo (él trabaja con ellos sobre temas de lectura, redacción, dibujo) tienen entre 12 y 15 año. El conocimiento algebraico es practicamente inexistente por los pésimos programas educativos vigentes y porque los docentes solamente siguen alguno de los libros de texto que siguen los pésimos programas de manera muy mala.

La sesión comenzó a las 9:00 en punto, cuando apenas habían llegado la mitad de los chicos. Sin pausa, una de las niñas mayores me pidió que le explicara lo que era una ecuación cuadrática (cosas que no ha entendido en la escuela).

Comencé por explicar en el pizarrón, utilizando plumones de diferentes colores para diferenciar los elementos, la escritura general formal de un polinomio, los coeficientes, los exponentes, la variable (aquí no es incógnita). Entendido eso, que el exponente mayor se llama grado del polinomio y que el coeficiente en ese término se llama coeficiente principal. A partir de ahí que, dependiendo del grado del polinomio se hablaba de lineales (grado 1), cuadráticos (grado 2), cúbicos (grado 3), etc.

Entonces, una ecuación cuadrática, expliqué, es un polinomio de grado 2 igualado a cero:

                                            a*x^2 + b*x^1+ c*x^0 = 0

haciendo explícitas todas las potencias de x y comentando que no escribimos x^1 sino x, porque se supone que eso ya lo sabemos; ni escribimos c*x^0 porque se supone que sabemos también que x^0 = 1 y entonces c*x^0 se convierte en c*1 = c

Es decir, escribimos c*x^0 = c y la ecuación se escribe simplemente como

                                           a*x^2 + b*x + c = 0.

Agregué que las funciones cuadráticas (y expliqué la diferencia entre polinomio, ecuación y función) eran muy importantes en el estudio de los problemas de tiro parabólico, lo que ilustré con un problema sencillo, la gráfica, y todo lo que resulta de ahí.

Mientras, llegaron todos los estudiantes.

Expliqué la tarea a desarrollar y la escribí en el pizarrón:

Cada equipo de 4 disponía de una única hoja tamaño carta de papel de color rosa o verde. Si la echaban a perder no podrían tener otra. Además, sobre la mesa del profesor (por un lado del salón) había juegos de geometría, tijeras, cinta adhesiva y papel milimétrico.

Con una hoja blanca mostré que había que marcar dobleces sobre los cuatro bordes de la hoja, todos a la misma distancia de cada borde, para poder formar las esquinas correctamente, y mostré cómo doblar. Se les pidió que tomaran nota de cada cosa que iban decidiendo y haciendo para elaborar el reporte que presentarían al final de la sesión. Y comenzaron a trabajar de manera independiente, con mi supervisión constante para detectar si estaban atorados en algún punto o si estaban en otra conversación y actuar de manera pertinente.

Los tres equipos comenzaron por medir la hoja de color con mayor o menor precisión: 28 por 21.5 centímetros.

Equipo 1, muy activo. Registraron todo su proceso y lo fueron transformando para hacerlo más ágil y claro. Nunca doblaron la hoja de color para hacer tanteos. Solamente medición y cálculo del volumen en cada ocasión que cambiaban la medida que debían "recortar" de cada lado. Tampoco utilizaron el papel milimétrico. Era el equipo de los más jóvenes.

Desde el principio me dijeron que la base rectangular de la caja mediría 28 cm menos dos veces lo que tenían que doblar, por 21.5 menos esas dos veces. Pero estaba variando esa cantidad en cada cálculo. Su cuaderno se percibe, en la foto, lleno de esas explicaciones. Les pregunté que, si sabían que esa cantidad era la que hací que todo cambiara estaba variando, qué podían hacer para simplificar: "ponerle x" dijo una de las niñas. El cálculo se simplificó y sustituyeron la escritura que se observa por una tabla en la que iban registrando el valor de x y el volumen resultante, en cada caso.

El valor inicial que dieron al doblez fue de 4 cm, pero fueron a 3.5, 4.25 y 4.5 para determinar si el volumen crecía o no.  x = 4 parecía el mejor valor. Les sugerí verlo con mucho más precisión: calcularon para 4.01 y 4.02. el volumen era mayor en 4.01 y bajaba en 4.02. Les confié el secreto de Wolfram Alpha y el valor que proporciona: x = 4.019

Equipo 2, haciendo dobleces, por tanteos, con una hoja de papel milimétrico. Sin llevar un registro, a pesar de la insistencia de mi parte. En algún moment uno de ellos sugirió que mientras menor la altura y mayor la base rectangular, el volumen sería mayor. Le sugerí que pensara qué pasaría si fuera como una charola de hornear. Cayó en cuenta de su error. Comenzaron a doblar una y otra vez la hoja de color, sin registrar lo que resultaba, hasta que dejó de ser útil. La hoja de papel milimétrico la utilizaron mal, pues comenzaron a marcar las distancias a partir de los márgenes blancos y no de los bordes. Construyeron una caja, sí, pero no podían determinar si era la de mayor volumen.

Equipo 3, sin mucha participación, sin organización a pesar de a reiteración. reguntaron si la caja podría tener forma de cubo. Les pregunté si doblando la misma distancia en cada lado de la hoja obtendrían un cuadrado para la base, dijeron que no. Doblaron la hoja milimétrica para armar una caja, como se observa, y después midieron. Doblaron la hoja de color múltiples veces. No lograron avanzar.

Pasados 40 minutos el Equipo 1 dió cuenta de su trabajo y, por razones de tiempo, yo me puse en calidad de escribana para llevar el proceso al pizarrón de manera concisa. Las flechas que conectan los cálcullos, gráficos y tabla fueron parte de las respuestas a las preguntas de sus compañeros. Cuando iba a tomar la foto del pizarrón, ellos mismos se acomodaron para salir, orgullosos de su logro.

Termiamos con un regreso al punto de iinicio de la sesión: dado que en la fórmula de volumen, explícita en el pizarrón, hay tres x (una en cada factor), tenemos una función cúbica. Y que podíamos graficarla o pedirle al Wolfram Alpha que nos dijera todos sobre el polinomio cúbico involucrado. 

Sí, hay talento a pesar de lo que diga el INEE y sus exámenes que miden lo que a nadie le importa. 

La segunda sesión con los chicos del CIPEC

Ocurrió el sábado 24 de octubre.

Previamente recorté varios juegos de Tangrama, en fomi de colores, y los puse en bolsitas, cada una con algunos modelos de figuras a realizar: en las primeras se observaba con claridad la manera de disponer las siete piezas del Tangrama; en las siguientes se podían utilizar las anteriores como modelo para producir nuevas formas, sin el auxilio del trazo de las piezas; el tercer bloque era de figuras con un poco más de compejidad.

Antes de comenzar con este trabajo, en parejas, uno de los chicos me preguntó sobre el problema de la evaporación del agua, planteado al final de la sesión anterior. Había calculado hasta el día 1000 y todavía no estaba completamente seco el depósito. ¿Qué crees que pase?, le pregunté. "Nunca se termina, es infinito el número de días". Su primera aproximación al infinito potencial y actual, por supuesto.

Comentamos brevemente que se trataba de un experimento imaginado, porque en la realidad el agua no se evapora de esa manera, pero que hay procesos reales (como el tratar de descontaminar totalmente un lago, y lo que costaría) que siguen esos modelos donde el infinito se hace presente.

Entonces les expliqué la actividad con los tangramas;

1. Son siete piezas.
2. Se deben utilizar las siete piezas para armar cada una de las figuras.
3. Por cada figura bien formada les pondría un sticker de colores como marca de trabajo bien hecho.

A cada equipo le entregué su bolsita de material. Les pedí que explicaran las formas de las piezas y la semejanza entre algunas (los triángulos). Agunos detalles surgieron con respecto a cuadrado  y al trapezoide que nos hizo discutir las características de un rectángulo, de un rombo, de un cuadrado, y de los paralelogramos en general. Ideas mal formdas por la falta de reflexión propia de la enseñanza tradicional: rectángulo -> ángulos rectos; rombo -> cuatro lados de la misma longitud; ¿cuadrado? manipuaron un poco las figuras para concluir que el cuadrado es un rectángulo cuyos lados son todos iguales, y que es un rombo con ángulos rectos.

Cada equipo comenzó por formar las figuras del primer bloque: acomodar las piezas según se observaba en los diagramas.  Luego, intentaron con algunos del segundo bloque, aprovechando lo que habían aprendido formando las figuras del primero. Un equipo decidió ir directamente con el tercer bloque. Comenzaron los "¡ya hicimos una!" pero, al observarla, resultaba que los ángulos que habían formado no correspondían a los del modelo, o que la orientación de un elemento no correspondía. 

Al cabo de un rato, en uno de los equipos, una chica le dijo a su compañero "fíjate en los ángulos, éste es obtuso y el que hiciste no". Ese fue el primer logro independiente: desarrollar la capacidad de detectar, sin medir, las similitudes en las figuras, y utilizarlo como argumento válido.

En total deben haber construido unas cinco o seis figuras en cada equipo, en el tiempo disponible. Ell material se lo llevaron ellos. Al iniciar la siguiente sesión uno de los chiquitos me dijo que había estado jugando en su casa y le habían salido bien más figuras.

Actividades recientes.

Muchas cosas han ocurrido durante este año. Comenzaré a compartir lo más reciente.

Comenzó con una invitación de Toño Falcón para unirme a un proyecto que se desarrolla en el CIPEC, trabajando con niños de diferentes comunidades de León, de diferentes grados escolares que van de la secundaria al bachillerato y que tienen diferentes intereses; algunos participan en una orquesta de niños apoyada por el Municipio. Toño trabaja con ellos los sábados de las 9 a las 14 horas, en apoyo a los cursos regulares que tienen en sus respectivas escuelas durante la semana regular. Son 17 jóvenes, inquietos como todos los de esa edad.

El primer sábado, el 17 de octubre, llegué justo cuando iniciaba un receso para desayunar en el comedor de CIPEC, de manera gratuita. Eso sí, deben colaborar a la limpieza y orden del lugar. Luego nos fuimos al aula, razonablemente equipada, donde fui presentada. Era la hora de la clase de matemáticas. Conversé un poco con ellos, sobre si les gustaba o no la clase de matemáticas (la mitad dijo que no) y si sabían, por ejemplo, para qué sirve el teorema de Pitágoras en la vida real “de la realidad tangible” de todos los días (es decir, no dentro de las clases de matemáticas), si sabían que el mismo Pitágoras había tenido la idea de la escala musical (a lo que dijeron que no)y les propuse que vieran Donald en el país de las matemágicas, en YouTube. Luego les pregunté sobre lo que les interesaría saber.

“Nunca he entendido lo de la recta numérica” dijo uno de los más pequeños. En lo que me explicó que hace su profesor, en la escuela, quedó claro que el profesor no tiene idea de lo que se trata y comete algunos de los errores que he observado antes con alumnos de diferentes edades. Peor, “Mi maestro es un flojo que nunca responde nada”, completó el chico, “bueno, son dos y de los dos no se hace uno”. Triste realidad de muchos de los docentes, desde los tiempos en que hacía observaciones y apoyaba a una profesora de una escuela secundaria en Ciudad Netzahualcóyotl, como parte de mi entrenamiento en la investigación educativa, hacia 1975.

“No entiendo las ecuaciones” dijo uno de los mayores, alumno de bachillerato (y me horroriza darme cuenta de que lo que eran temas de la secundaria ahora se abordan en el bachillerato y es, fundamentalmente, parte de la problemática de la falta de formación docente). Sí, entendían que una literal representa una incógnita, pero hasta ahí.

Comenzamos por el primer punto, explicitando cómo se construye la recta numérica, la necesidad de un punto inicial u origen a partir del cual se marcarán las unidades, elegidas según lo que uno vaya a representar pero todas de la misma longitud. Hablamos de los números de contar y de lo que contamos: personas, naranjas, canicas, etc. Y tocó el turno de hablar de fracciones y decimales. ¿Para qué los necesitamos? No lo asociaban con medición y expresión de una medida.  Convenientemente llevaba algunos de los impresos de los supermercados, anunciando ofertas. Ahí aparecen los decimales, y ahí está presente la idea de partir las unidades y la necesidad de fracciones y decimales. La actividad de “La Patita”, y la de aprovechar descuentos en porcentajes es algo que surgirá de manera natural en sesiones próximas.

Para aligerar la sesión expliqué el "juego" de Quién dice 20, la situación didáctica clásica propuesta por Brousseau, y la jugaron en equipos: los chicos de secundaria versus los de bachillerato. La finalidad: mostrar que el grado en el que estudian no es un factor para tener un buen desempeño. Cada equipo elegía a su representante en cada ocasión. Al que llegaba primero a 20 se le obsequiba una paleta de caramelo, y eso incrementó el interés en participar. Para la primera ronda del juego  un volado decidió qué equipo comenzaba.

En la segunda ronda cayeron en cuenta que el que decía 17 ganaba el juego;
en el tercero, que lo importante era llegar a 14;
en el sexto, que la clave era llegar a 11.

Ahí les pedí analizar lo que seguiría pasando, y concluyeron sin dificultades; pero lo importante es que ya estaban enganchados.

Hablamos entonces del asunto del álgebra en tanto que resolución de acertijos que deben traducirse a un lenguaje simbólico para poder resolverlos de manera algorítmica, que es la idea que expusieron, aunque no en esos términos. Comencé planteando el problema 1 del libro I de las Aritméticas de Diofanto. Hubo diferentes maneras de resolverlo, por supuesto, pero predominó el tanteo. Enseguida propuse el problema de las gallinas y los conejos, que no encontraron manera de resolver, excepto por dos chicos que lo hicieron por tanteos. Después de un rato les propuse la solución de dibujar las cabezas, como hicieron mis alumnos de primero de secundaria hace unos 40 años, y mientras las dibujaba surgieron las propuestas de poner dos patas a cada cabeza y… terminaron sin mucho problema. Luego analizamos esa solución para convertirla en procedimiento algebraico.

Eso permitió plantear un problema semejante, ahora con monedas de 5 y de 10 pesos. Y lo inconveniente de estar dibujando cuando el número de monedas es muy grande. Y de ahí, la necesidad de generalizar el procedimiento algebraico, etc.

Ya animados, una chica dijo que no entendía eso de dividir polinomios. Comencé con el algoritmo euclidiano de la división de enteros, y lo enuncié completo. Por analogía desarrollé paso a paso la división de dos polinomios, haciéndolos participar en la solución (en un punto hubo que explicitar que x^5/x^3  significa simplificar (xxxxx)/(xxx), por ejemplo (de donde resulta a regla para dividir potencias de una variable), y enuncié la condición final sobre el orden del residuo. Algunos dijeron que eso era de prepa, y comenté que no hay semejantes límites cuando nos interesa un tema.

Compartí entonces una actividad que Papini y yo propusimos a niños que recién terminaban la primaria, en un curso de verano que organizamos para indagar sobre la proporcionalidad previa a la introducción a la probabilidad: Un depósito está lleno de agua y, por efectos de evaporación, cada día pierde la mitad de lo que tiene por la mañana. ¿Cuántos días son necesarios para que el depósito quede completamente seco? Mientras iba cerrando la sesión, respondiendo preguntas sobre mí y sobre mi hijo, compartiendo el uso de Wolfram Alpha y recogiendo mis materiales, uno de los chicos me dijo: “ya voy en el día 70 y no se acaba”. Solamente sonreí. Por Toño supe, durante la semana, que seguían calculando y preguntando por la respuesta. 

Se levanta el viento

Les comparto esta entrada de otro de mis blogs. Es mi crónica de la película Se levanta el viento que creo que vale mucho la pena como material para animar un curso de ciencia, pero también para discutir sobre las vocaciones de algunos alumnos.

La liga a la película, en YouTube, está en el texto. Espero que la disfruten.

Retomando las observaciones de hace 37 años

En el verano de 1977 desarrollé la parte experimental de mi trabajo de tesis de maestría; entre septiembre de ese año y junio de 1978 redacté el análisis y reporte de la experiencia. Pero ese mismo año yo viajé a París para iniciar mis estudios de doctorado, y Papini (Dr. Jesús Alarcón Bortolussi) viajó a Estrasburgo, también para su doctorado. El trabajo quedó terminado pero no hubo tiempo para la formalidad de la presentación y validación por parte de un jurado. A principios de 1981 regresé a México y en junio de ese año hice la defensa de la tesis, aun cuando Papini seguía en Francia. Hoy volví a darle una revisada a ese trabajo.

Con la tecnología de los años 70, el trabajo se escribió a mano y luego Margarita Brito, entonces trabajando en Matemática Educativa, lo mecanografío. Se imprimió en el mismo taller de Matemática Educativa, con el apoyo de Carlos y Octavio, que estaban a cargo del área de reproducción e impresión de todos los materiales que producíamos.

El trabajo consiste en el diseño de un curso de formación para profesores de matemáticas de primero de secundaria, con un total de 90 horas, y el análisis y reflexión sobre lo que observamos a lo largo de él. Eran unos 30 profesores y teníamos dos grupos, de 50 niños cada uno, que acababan de terminar la primaria, para observar la manera en que los profesores llevaban al aula lo que aprendían y se les proponía en el curso.

En cuanto a lo que observamos entonces sobre los conocimientos, habilidades y actitudes de los profesores en y hacia los temas de matemáticas y los que tienen que ver con la labor docente, independientemente del curso que imparten, pareciera que el tiempo se ha detenido. No hay mejoría y hasta me atrevería a decir, con las siempre honrosas excepciones, que hay un retroceso. Los programas han cambiado, debilitándose de manera alarmante, y los materiales que se ofrecen a los profesores y a los alumnos, desde la misma SEP, no contribuyen a mejorar la calidad de la educación, especialmente en matemáticas.

La propuesta del curso de 90 horas no sigue el programa que estaba vigente en aquellos tiempos, que incluía Lógica y Conjuntos y Probabilidad y Estadística, desde 1974 o algo así. Las razones que entonces expuse son básicamente las mismas que recurrentemente expreso con respecto a la educación matemática: hay que atender a las características de nuestros alumnos y a proporcionarles herramientas que les permitan hacer frente a situaciones en la vida real, aunque sí incluiría aspectos probabilístico y el manejo de datos. También recomendaba tomar en cuenta que sin la capacitación adecuada, y no a través del teléfono descompuesto que son los multiplicadores, valía más no pedir al maestro trabajar con temas que no comprenden, que parecen haber descendido solamente sobre unos cuanto iluminados, y que limitan el tiempo que se necesita para desarrollar conocimientos mucho más relevantes en todos los sentidos.

De las observaciones y del análisis que hicimos de ellas resultó que los temas que desde todos los tiempos han estado en los programas de ese nivel, tampoco son suficientemente dominados por los profesores, especialmente en lo que se refiere a fracciones y geometría plana. Que los profesores ni siquiera prestan atención cuando se trata de profundizar respecto a esos mismos temas, porque suponen que ya saben de qué se trata, aunque no sea verdadero. Diría yo que reconocen la tonada pero no podrían cantar o tararear la canción.

Lo mismo sucede cuando se trata de temas de pedagogía, didáctica, tecnología educativa, psicología del aprendizaje y los temas relacionados. Los docentes han pasado por todo tipo de talleres o sesiones informativas -generalmente por obligación- en las que pareciera que es más importante utilizar la jerga correspondiente que entender de qué se trata y para qué puede ser utilizado ese conocimiento. Salen indemnes de semejantes experiencias, en el mejor de los casos. Tristemente eso también se observa en directivos de todos los niveles en el área educativa. El triste caso de la terrible confusión y falta de comprensión de lo que significa el desarrollo de competencias (no competencias laborales, no competiciones), en los últimos tiempos, es un excelente ejemplo para ilustrar el desastre que son esos métodos de "capacitación" a los que las autoridades educativas siguen recurriendo.

En cuanto al trabajo con los alumnos, nos sorprendió lo refractario que se mostraron para tomar en cuenta la propuesta de trabajo independiente del alumno y asumir la función de facilitador que incorporamos a nuestro trabajo desde 1975, por lo menos. Los materiales de trabajo para el alumno -contenidos en el libro Matemáticas 100 horas, para primero de secundaria- fueron elaborados, puestos a prueba y re elaborados en función de las observaciones del trabajo con los niños en las escuelas secundarias en las éramos docentes, o en las que auxiliábamos a otros docentes que empleaban los materiales, de manera de asegurar que los alumnos podían aprender por su cuenta y discutiendo entre ellos, con apoyo del docente cuando surgía una duda o era necesario proponer una alternativa.

Después de las sesiones de trabajo con los profesores, en las que se explicitaba todo lo anterior y se modelaba la puesta en operación, ellos debían trabajar con alguno de los dos grupos de niños, en parejas para que pudieran ser más eficientes en la observación del trabajo de los niños y su retroalimentación.

Se les pedía llegar a la sesión con los alumnos habiendo analizado los materiales y resuelto con nosotros cualquier duda o solicitud de apoyo. Lo que ocurrió fue que llegaban sabiendo el nombre de la lección, confiando en que conocían el tema; que dictaban cátedra controlando la lectura de los materiales, pidiendo a los alumnos leer un ejercicio, por ejemplo, y guardar inmediatamente el material; impidieron las interacciones entre los alumnos; se desviaron del tema observando y haciendo observar a los niños cualquier detalle de algún dibujo o característica que encontraran novedoso en el material -"vamos a aprender a dibujar esta florecita", por ejemplo-, sin concluir la lección ni, por supuesto, lograr algún aprendizaje significativo en los niños; privilegiaron el trabajo de los dos o tres niños que terminaban un ejercicio antes que el resto; y no registraron ninguna de las dudas o tropiezos que encontraron los chicos del grupo.

Que las cosas no han mejorado me quedó claro hace casi dos años, cuando me pidieron hacerme cargo de dos grupos de matemáticas en un colegio privado de niñas. De pronto tenía público en la ventana observando mi "peculiar" manera de poner a trabajar a las alumnas mientras circulaba entre las bancas para retroalimentar lo que hacían, en caso necesario; o sentándome en el suelo con ellas, u observando la manera en que trabajaban y se retroalimentaban en parejas o grupos de cuatro o cinco. Aparentemente nunca habían visto o conocido la puesta en acción de todo lo que les piden que aprendan en asuntos de trabajo colaborativo y del aprendizaje centrado en el alumno.

Fue bueno releer el material y encontrarme con documentos que escribimos Papini y yo sobre la resolución de problemas y sobre los inicios de la probabilidad con los chiquitos, a partir del trabajo con niños. Documentos que recordaba pero que no los tenía disponibles, según yo. Papini falleció en 1997, pero antes hicimos realidad dos proyectos importantes de formación de profesores de matemáticas, creando maestrías en educación matemática en las escuelas normales de Saltillo y de Toluca, entre otras cosas.

Encontré también los materiales que, como alumnos, escribimos algunos compañeros y yo, de manera individual o en equipos, y que sirvieron como materiales para el curso de 90 horas. Entre los compañeros que colaboraron con sus materiales y la imparticion del tema, dentro del curso, están algunos de los amigos que permanecen a través de los años que van de 1968 a la fecha: los reconocidísimos educadores Elias Loyola Campos y César Cristóbal Escalante.

Mucha agua ha pasado bajo los puentes y seguimos observando las mismas carencias educativas.